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#                                              #
#  Numerisches Ueberpruefen der Resultate aus  #
#            Aufgabe 1, 2 und 3:               #
#                                              #
#----------------------------------------------#

# R-Code:


# Aufgabe 1:

# Wir legen die Matrix A an:

a1 = c(0,1)                  # 'c()' fuer 'concatenate', 
a2 = c(1,0)                  # Zeilenvektoren

A = rbind(a1,a2)             # 'rbind' fuer 'row-bind'
A

# Eigenwerte und Eigenvektoren kann man in R 
# mit dem eigen()-Befehl berechnen: Der gibt 
# 2 Sachen zurueck (Datentyp 'Liste'):
# 1) einen Vektor mit den Eigenwerten und
# 2) eine Matrix mit allen normierten Eigenvektoren: 

res = eigen(A)               # res fuer result
res                          # EWs 1 und -1, 
                             # EVs (1,1)/sqrt(2) und (1,-1)/sqrt(2)
# passt alles


# nur zur Info:
mode(res)                    # Datentyp 'Liste'
str(res)



# Aufgabe 2:

# Wir legen die Matrix A an:

a1 = c(0,1)                 
a2 = c(-1,0)                 

A = rbind(a1,a2)          
A

res = eigen(A)               # res fuer result
res                          # offensichtlich kann das R mit komplexen  
                             # Zahlen rechnen, tolle Sache..

# nur zur Info:
mode(res)                    
str(res)                     # ok, complex




# Aufgabe 3a:

a1 = c(0,1)
a2 = c(1,0)
A = rbind(a1,a2)  

# das V und das D koennen wir direkt mit der eigen()-Funktion 
# upsetten:

V = eigen(A)$vectors
D = diag( eigen(A)$values )
V
D

# jetzt das Matrix-Produkt V D V^(-1): 
# zunaechst: V^(-1) mit dem solve()-Befehl:

Vinv = solve(V) 
Vinv

# dann: R-Syntax fuer das Matrix-Produkt ist %*% (ein einfaches * wird 
# fuer das element-weise Multiplizieren von Matrizen verwendet): 
# Also:

test = V %*% D %*% Vinv 
test
A                          # das passt..


# Aufgabe 3b:

a1 = c(0,1)
a2 = c(-1,0)
A = rbind(a1,a2)  

# das V und das D koennen wir direkt mit der eigen()-Funktion 
# upsetten:

V = eigen(A)$vectors
D = diag( eigen(A)$values )
V
D

# jetzt das Matrix-Produkt V D V^(-1): 

Vinv = solve(V) 
Vinv

test = V %*% D %*% Vinv 
test
zapsmall(test)                # eliminiert numerical noise..
A                             # ..das passt