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#     Loesungen      #
#     Ue-Blatt4      #
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# Aufgabe 1)

v1 = seq(1,100,by=1)
v1

# auch moeglich, etwas kuerzer:

v1b = 1:100
v1b


v2 = seq(2,200,by=2)
v2

# auch moeglich, wenn v1 schon da ist:

v2b = 2*v1
v2b


v3 = rep(1,100)           # rep fuer 'repeat'
v3


# wenn v1 schon da ist, einfach

v4 = v1^2
v4


# wenn v4 schon da ist, einfach

v5 = 1/v4
v5


x = seq(0,10,length=101)
x




# Aufgabe 2)

# 2a)

x = seq(-5,+5,by=0.01)
x

fx = exp(-x^2/2)
gx = x * exp(-x^2/2)

plot(x,fx)
points(x,gx,col="red")

# ..ok, wir muessen die y-Achse reskalieren, etwa von -1 bis +1, 
# geht so:

# 2b)

plot(x,fx, ylim=c(-1,+1) )
points(x,gx,col="red")




# Aufgabe 3)

# 3a)

# s1 = 1 = 1^2
# s2 = 1+3 = 4 = 2^2
# s3 = 1+3+5 = 9 = 3^2
# s4 = 1+3+5+7 = 9+7 = 16 = 4^2
# s5 = 1+3+5+7+9 = s4 + 9 = 16+9 = 25 = 5^2
# also:
# sn = n^2


# 3b)

n = 100
x = seq(1,2*n-1,by=2)
x


# 3c)

sn = cumsum(x)
sn


# 3d) 

# Fuer eine allgemeine Summe s_n := sum_{k=1}^n a_k 
# kann man immer schreiben:
# 
# s_n = sum_{k=1}^n a_k = sum_{k=1}^{n-1} a_k + a_n = s_{n-1} + a_n
#
# In unserem Fall sind die a_k = 2*k - 1, also koennen wir die Summe 
# berechnen mit der Rekursion
#
# s_n = s_{n-1} + a_n = s_{n-1} + 2*n - 1
#
# Das sn haben wir in 2c) schon verbraucht, nennen wir die neue Summe 
# etwa Sn:

Sn = rep(0,n)
Sn
Sn[1] = 1

for( k in 2:n )
{
  Sn[k] = Sn[k-1] + 2*k - 1 
}
Sn            # ok, das passt..




# Aufgabe 4)

# Damit wir die Koeffizientenmatrix A ablesen koennen, muessen die  
# x,y,z bei allen Gleichungen dieselbe Reihenfolge haben (ok, das 
# ist hier schon der Fall) und wenn eine Variable nicht vorkommt, 
# in der letzten Gleichung ist kein y, muss man da eine Null nehmen, 
# an der richtigen Stelle:

# 1*x + 1*y - 1*z = 0 
# 1*x - 1*y + 1*z = 4 
# 2*x + 0*y + 2*z = 10    

# Damit:

a1 = c(1,1,-1)
a2 = c(1,-1,1)
a3 = c(2,0,2) 

A = rbind(a1,a2,a3)     # rbind fuer 'row bind', zeilenweises Zusammensetzen
A                       # ok, sieht gut aus..

# die rechte Seite:

b = c(0,4,10)
b

# Loesen des Gleichungssystems dann einfach mit der Syntax

solve(A,b)

# also x=2, y=1, z=3, das passt..