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#   Loesung Blatt3   #
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# Aufg1)

eps = 2
x0  = 1
T   = 50

dt = 0.01
tt = seq(from=0,to=T,by=dt)
M  = length(tt)

xt_exact = x0*cos(eps*tt)

xt = rep(0,M)
xt[1] = x0

for(k in 2:M)
{
  xt[k] = xt[k-1] - eps^2*dt* sum( xt[1:(k-1)]*dt )
}

plot(tt,xt)
points(tt,xt_exact,col="red")

# das sieht also numerisch sehr stabil aus und es liefert 
# auch fuer dt = 0.1 schon eine vernuenftige Loesung


# die Tatsache, dass numerische Effekte durchaus subtil 
# sein koennen, zeigt sich hier dadurch, dass wenn man 
# bei der Riemannschen Summe einen Term weniger nimmt, 
# also nur bis k-2 anstatt bis k-1, man eine deutlich 
# instabilere Loesung bekommt:

xt[1] = x0
xt[2] = x0

for(k in 3:M)
{
  xt[k] = xt[k-1] - eps^2*dt* sum( xt[1:(k-2)]*dt )
}

plot(tt,xt)
points(tt,xt_exact,col="red")