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#   Beispiel zum Bestimmen eines   #
#      Vertrauensintervalls        #
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# Wir bestimmen ein 90% Vertrauensintervall fuer den 
# Koeffizienten a1 aus der Aufgabe 2b vom UeBlatt12:

WBevData = read.table("C:/Users/hsrm/Desktop/Weltbevoelkerung.csv",header=TRUE,sep=";")

head(WBevData)
str(WBevData)

zeit = WBevData[,3]
zeit
wbev = WBevData[,4]
wbev

plot(zeit,wbev)

which(zeit==2015)

zeit2 = zeit[1:14]
zeit2
wbev2 = wbev[1:14]
plot(zeit2,wbev2)

zeit2 = zeit2 - 1950
zeit2

res = lm(wbev2 ~ zeit2)
res
coef = res$coef
a0 = coef[1]
a1 = coef[2]
a0
a1

plot(zeit2,wbev2)
points(zeit2,res$fit,col="red",type="l")

m = length(wbev2) - 2
x90 = -qt(0.05,m)
x90

hats = sqrt( sum(res$res^2)/m )
hats

X = zeit2
X0 = cbind( rep(1,14) , X )
X
X0

XTXinv = solve(t(X0)%*%X0)
sqr11 = sqrt( XTXinv[2,2] )
sqr11

stddev11 = hats*sqr11
stddev11

a1
delta_a1 = x90*stddev11

# Vertrauensintervall fuer a1:

confint_a1 = c( a1-delta_a1 , a1+delta_a1 )
confint_a1