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# Aufgabe 1 #
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MyRegression = function(y,X)
{
  # A beta = c
  A = t(X)%*%X
  Ainv = solve(A)
  c = t(X)%*%y
  betas = Ainv%*%c
  fittedvalues = X%*%betas
  errors = y - fittedvalues

  result = list(betas,fittedvalues,errors)
  names(result) = c("betas","fittedvalues","errors")

  plot(x,y)
  lines(x,fittedvalues,col="red")

  return(result)
}


# Test der Funktion:
# Wir betrachten folgendes Beispiel:

x = (-10):10
eps = rnorm(21)
y = 5 - 0.5*x + eps
plot(x,y)


# a) Mit der lm()-Funktion:

reslm = lm(y ~ x)
summary(reslm)

names(reslm)        # die "residuals" sind die errors, also y - fittedvalues
reslm$fit
reslm$residuals
reslm$res           # reicht aus, ist damit eindeutig
plot(x,y)
lines(x,reslm$fit,col="red")


# b) Jetzt mit der MyRegression-Funktion:
#    der Vektor x0 fuer die Konstante beta0 muss in die 
#    Matrix X der Regressoren mit reingeschrieben werden: 
#    (die lm-Funktion macht das automatisch)

n = length(y)
x0 = rep(1,n)
X = cbind(x0,x)
resmy = MyRegression(y,X)
resmy$betas
resmy$fit
resmy$err



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# Aufgabe 2 #
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Die Regressionskoeffizienten beta = ( beta0 , beta1 ) sind gegeben durch 
die Formel

beta = ( X^T X )^{-1} X^T y 

wobei die Matrix der Regressoren X gegeben ist durch 

     1 -6
	 1 -4       |  |
	 1 -2
X =	 1  0   =:  x0 x1 
	 1  2
	 1  4       |  |
	 1  6

mit den Spaltenvektoren x0 und x1. Bezeichnen wir Skalarprodukte mit *, dann 
haben wir also:

         x0*x0 x0*x1     7   0
X^T X =               =  
         x1*x0 x1*x1     0  112
		 
und damit
                  1/7   0
( X^T X )^{-1} =  
                   0  1/112 
				   
Wegen 
         x0*y      21
X^T y =        =
         x1*y      56
		 
bekommen wir also

        beta0       1/7 * 21     3
beta =         =              =  
        beta1     1/112 * 56     0.5 , 
		
also beta0 = 3 und beta1 = 0.5 .