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#  Aufgabe 3  #
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# 3a)

t = seq( from=0, to=1, length=1000 )
phi = seq( from=pi/4, to=3*pi/4, length=1000 )

z = 1-2*t+1i
z2 = sqrt(2)*exp(1i*phi)

plot( z, typ="l", col="red", xlim=c(-1.5,1.5), ylim=c(-1.5,1.5) )
lines( z2 , col="green" )
points( 1+1i, cex=1 )         # etwa cex=2 fuer "character expansion" = 2 
points(-1+1i, cex=1 )         # liefert doppelt so grosse Punkte..
points(0+0*1i)                # geht auch so, cex ist optionaler Parameter

# Bemerkung: der Buchstabe t wird in R schon benutzt, naemlich 
# fuer das Transponieren von Matrizen, der obige code funktioniert 
# trotzdem. Also das t() ist schon eine vordefinierte Funktion.


# 3b) 

n = 10000
t = seq( from=0, to=1, length=n )
z = 1-2*t+1i
dz = diff(z)                                        
z = z[-1]        
sum( z * dz )          # -2i bis auf discretization error = O(1/n)



# Jetzt die Wegintegrale:

# int_{gamma_red} bar(z) dz :

n = 10000
t = seq( from=0, to=1, length=n )
z = 1-2*t+1i
dz = diff(z)                                        
z = z[-1]        
sum( Conj(z) * dz )    # +2i


# int_{gamma_red} 1/z dz :

n = 10000
t = seq( from=0, to=1, length=n )
z = 1-2*t+1i
dz = diff(z)                                        
z = z[-1]        
sum( 1/z * dz )        # pi/2 *i 


# int_{gamma_green} bar(z) dz :

n = 10000
phi = seq( from=pi/4, to=3*pi/4, length=n )
z = sqrt(2)*exp(1i*phi)
dz = diff(z)                                        
z = z[-1]        
sum( Conj(z) * dz )    # pi*i


# int_{gamma_green} 1/z dz :

n = 10000
phi = seq( from=pi/4, to=3*pi/4, length=n)
z = sqrt(2)*exp(1i*phi)
dz = diff(z)                                        
z = z[-1]        
sum( 1/z * dz )        # pi/2 *i