---------------
#  Aufgabe 1  #
---------------

# 1a)
za = (1i)^(177)
Re( za )
Im( za )

# 1b)
zb = 1/(1i)^7
Re( zb )
Im( zb )

# 1c)
zc = (1i+2)^3
Re( zc )
Im( zc )

# 1d)
zd = (4+3*1i)/(2-1i)
Re( zd )
Im( zd )

# 1e)
ze = 1/(1-1i)^2
Re( ze )
Im( ze )

# 1f)
zf = exp(1i*pi/4)
Re( zf )
Im( zf )

# 1g)
zg = exp(1i*pi/2)
Re( zg )
Im( zg )

# 1h)
zh = exp(1i*3*pi/4)
Re( zh )
Im( zh )

# 1i)
zi = exp(1i*pi)
Re( zi )
Im( zi )

# 1j)
zj = exp(1i*3*pi/2)
Re( zj )
Im( zj )

# 1k)
zk = exp(-1i*pi/2)
Re( zk )
Im( zk )

# plotten wir noch die Zahlen:
zforplot = c(za,zb,zc,zd,ze,zf,zg,zh,zi,zj,zk)
plot(zforplot)

# machen wir die x- und y-Achse gleich lang so 
# dass man besser sieht, dass die Zahlen zf-zk 
# auf einem Kreis liegen:
plot(zforplot,xlim=c(-1,11),ylim=c(-1,11))

# ..ok, vielleicht nur mal die Zahlen zf-zk, noch 
# mit einem roten Kreis dazu:
zfk = c(zf,zg,zh,zi,zj,zk)
plot(zfk,xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1))

# Kreis:
phi = seq(from=0,to=2*pi,length=500)
zkreis = exp(1i*phi)
lines(zkreis,col="red")            # das passt..




---------------
#  Aufgabe 2  #
---------------

# 2a)
za = 1-1i
Arg(za)
Arg(za)/pi             # -45 Grad
abs(za)                # sqrt(2)

# 2b)
zb = -sqrt(3)+1i
Arg(zb)
Arg(zb)/pi             # 5/6 pi = 150 Grad
abs(zb)                # 2

# 2c)
zc = (1-1i)^3 
Arg(zc)
Arg(zc)/pi             # -135 Grad
abs(zc)                # 2*sqrt(2)

# 2d)
zd = 2/(1+sqrt(3)*1i)
Arg(zd)
Arg(zd)/pi             # - pi/3 = -60 Grad
abs(zd)                # 1

# 2e)
ze = 2/(1i-1) 
Arg(ze)
Arg(ze)/pi             # -135 Grad
abs(ze)                # sqrt(2)




---------------
#  Aufgabe 3  #
---------------

z = (4+2*1i)/5
k = 0:100
terms = z^k
sn = cumsum(terms)
plot(sn)

z0 = 1/(1-z)
points(z0,col="red",pch="X")





---------------
#  Aufgabe 4  #
---------------

# 4a)
dx = 0.01
dy = 0.01
x = seq(from=0,to=0.5,by=dx)
y = seq(from=0,to=2.0,by=dy)

z = 1i*y
plot(z,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(0,2))
for(k in 1:5)
{
  lines(z+k*0.1)
}
for(k in 0:20)
{
  lines(x+1i*k*0.1)
}

# 4b)
dx = 0.01
dy = 0.01
x = seq(from=0,to=0.5,by=dx)
y = seq(from=0,to=2.0,by=dy)

z = 1i*y
plot(z^2,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(0,2))
for(k in 1:5)
{
  lines( (z+k*0.1)^2 )
}
for(k in 0:20)
{
  lines( (x+1i*k*0.1)^2 )
}

# wenn wir die x-Achse von -4 bis +1 gehen lassen wollen:
z = 1i*y
plot(z^2,type="l",xlim=c(-4,1),ylim=c(-1,4))
for(k in 1:5)
{
  lines( (z+k*0.1)^2 )
}
for(k in 0:20)
{
  lines( (x+1i*k*0.1)^2 )
}