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#  Aufgabe 3  #
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# der Buchstabe "t" ist schon verbraucht, 

t         # ist Funktion fuer Transponieren

# der Buchstabe "f" ist noch frei:

f         # Error: object 'f' not found

# falls Sie hier keinen error bekommen, also schon irgend etwas 
# als f definiert wurde, kann das daran liegen, dass beim Beenden 
# der letzten R-Session die Frage "Save workspace image?" mit yes 
# beantwortet wurde, was zur Folge hat, dass ein .RData-file (das 
# ist nicht Ihr R-Skript, dieses .RData-file wollen Sie nicht) auf dem 
# Computer gespeichert wird, und dieses file wird dann beim naechsten 
# Start von R automatisch eingelesen. Wenn Sie sichergehen wollen, 
# dass Sie am Anfang auch wirklich mit einer neuen Session beginnen, 
# koennen Sie sich etwa mit 

ls()

# alle schon bestehenden Objekte anzeigen lassen. Mit dem Befehl 

rm(list=ls())

# koennen Sie saemtliche schon existierenden Objekte loeschen.



# Wir definieren eine Funktion f:

f = function( z )
{
  result = exp(-z^2)
  return(result)
}

f         # ok, ist jetzt eine Funktion
f(1i)     # 2.718282+0i


# Wir wollen die Cauchy'sche Integralformel
# ueberpruefen: die Kurve C ist ein Kreis 
# mit Radius r um z0:
# Die Funktion soll zwei Werte zurueckgeben, 
# das Integral und f(z0):

TestCauchyInt = function( f , z0 , r )
{
  n = 10000
  phi = seq(from=0,to=2*pi,length=n)
  z = z0 + r*exp(1i*phi)
  dz = diff(z)
  z = z[-1]
  integral = sum( f(z)/(z-z0) * dz ) * 1/(2*pi*1i)
  exactres = f(z0)
  result = c(integral,exactres)
  names(result) = c("Integral","f(z0)")
  return(result)
}

# ein Funktionsaufruf:
TestCauchyInt(f,z0=1i,r=2)