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#  Aufgabe 3b  #
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# wir approximieren das Integral durch eine 
# Riemannsche Summe von -xmax bis xmax mit 
# Schrittweite dx:

xmax = 20
dx = 0.001
x = seq(from=-xmax,to=xmax,by=dx)

# wir plotten das Integral fuer festes aber 
# variables alpha als Funktion von k fuer 
# k = -5.0, -4.9, ... , 4.9 , 5.0:

alpha = 2
k = seq(from=-5.0,to=5.0, by=0.1)

# exaktes Resultat:
exact = function( k , alpha )
{
  res = 1/sqrt(alpha) * exp(-1/alpha*k^2/2)
  return(res)
}
curve(exact(x,alpha),from=-5,to=5)

# Riemannian sums:
for(kk in k)
{
  integrand = exp(1i*kk*x)*exp(-alpha*x^2/2)
  riemannsum = sum(integrand)*dx/sqrt(2*pi)
  # add result to previous plot: since the 
  # result is complex, we plot the real and 
  # imaginary part:
  points(kk,Re(riemannsum),col="red")
  points(kk,Im(riemannsum),col="green")
}