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#  Aufgabe 5  #
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# zunaechst erzeugen wir ein Gitter von 
# komplexen Zahlen und plotten diese:

x = seq(from=-2,to=2,by=0.1)
y = seq(from=-2,to=2,by=0.1)
z0 = 0+1i*0
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))

for( xx in x )
{
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    points( z , pch="." )        # pch steht fuer "plot character"
  }
}

# wir machen das Gitter feiner:

x = seq(from=-2,to=2,by=0.01)    # also Schrittweite 0.01 statt 0.1, 
y = seq(from=-2,to=2,by=0.01)    # 10x10=100 mal so viele Punkte
z0 = 0+1i*0
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))

for( xx in x )
{
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    points( z , pch="." )
  }
}


# wenn wir die Punkte farbig machen wollen:
# wenn man n verschiedene Farben braucht, 
# kann man die mit vordefinierten Farbpaletten 
# generieren:
# etwa n = nx = lenght(x) Regenbogen-Farben:

nx = length(x)
mycolors = rainbow(nx)

# diese Farben kann man jetzt mit 
# mycolors[i] benutzen:

nfarbe = 0
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))
for( xx in x )
{
  nfarbe = nfarbe+1       # bei jedem neuen x eine neue Farbe
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    points( z , pch="." , col=mycolors[nfarbe] )
  }
}

# wenn die Farben etwa beim Rosa und nicht erst 
# beim Rot aufhoeren sollen:

nx = length(x)
mycolors = rainbow(1.15*nx)     # mycolors[nx] ist dann lila, 
                                # nicht mehr rot
nfarbe = 0
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))
for( xx in x )
{
  nfarbe = nfarbe+1       # bei jedem neuen x eine neue Farbe
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    points( z , pch="." , col=mycolors[nfarbe] )
  }
}

# wir berechnen jetzt die Partialsummen sn fuer die 
# geometrische Reihe, etwa fuer die ersten 100 
# Potenzen, und waehlen als numerisches Kriterium, 
# dass die Reihe divergent ist, wenn die Summe 
# der Partialsummen sn groesser als, sagen wir, 1000 
# wird. Ok, das sn ist eine komplexe Zahl, also der 
# Absolutbetrag von sn soll groesser als 1000 werden:
# Diejenigen z, fuer die das zutrifft, faerben wir 
# ein: und zwar soll der Punkt umso "roter" gefaerbt 
# werden, je schneller die Reihe divergiert:

nmax = 100                      # Terme in der geom. Reihe
mycolors = rainbow(1.15*nmax)   # mycolors[nmax] ist dann lila, 
                                # nicht mehr rot
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))
for( xx in x )
{
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    sn = 0 + 1i*0               # die Partialsummen
    k = 0                       # Zaehler fuer Potenz z^k
    while( abs(sn)<1000 & k < nmax )
    {
      sn = sn + z^k             # die geom. Reihe 
      k = k + 1
    }
    points( z , pch="." , col=mycolors[k] )
  }
}

# vielleicht lassen wir den Konvergenzbereich einfach 
# weiss, also wenn abs(sn) nie groesser wird als 1000, 
# dann wird bis k = nmax-1 iteriert und als Farbe muesste 
# dann mycolors[nmax] genommen werden. Probieren wir also 
# etwa mycolors[nmax]="white" :

nmax = 100                      # Terme in der geom. Reihe
mycolors = rainbow(1.15*nmax)   
                                
mycolors[nmax]="white"
plot(z0,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2))
for( xx in x )
{
  for(yy in y )
  {
    z = xx + 1i*yy
    sn = 0 + 1i*0               # die Partialsummen
    k = 0                       # Zaehler fuer Potenz z^k
    while( abs(sn)<1000 & k < nmax )
    {
      sn = sn + z^k             # die geom. Reihe 
      k = k + 1
    }
    points( z , pch="." , col=mycolors[k] )
  }
}