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#  Aufgabe 2  #
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# Wir codieren eine Funktion, die zu vorgegebenem 
# f das Integral
# 
#      1/(2*pi*i) int_{C_r(z0)} f(z) dz
# 
# berechnet, wobei C_r(z0) ein Kreis mit Radius 
# r um z0 ist:


IntC = function( f , z0 , r )
{
  n = 100000         # Fehler = O(1/n) -> bis auf 
                     # 5 oder 6 Stellen genau

  phi = seq(from=0,to=2*pi,length=n)
  z = z0 + r*exp(1i*phi)
  dz = diff(z)
  z = z[-1]
  integral = sum( f(z) * dz ) * 1/(2*pi*1i)
  return(integral)
}


# Wir muessen die folgenden Funktionen numerisch 
# integrieren:

fa1 = function(z)
{ 
  return( sin(z)/z )
}

fa2 = function(z)
{ 
  return( sin(z)/z^2 )
}

fa3 = function(z)
{ 
  return( sin(z)/z^3 )
}

fa4 = function(z)
{ 
  return( sin(z)/z^4 )
}

fb = function(z)
{ 
  return( 1/(z*cos(z)) )
}

fc = function(z)
{ 
  return( 1/(1-z^2) )
}

fd = function(z)
{ 
  return( 1/(1-z^2)^2 )
}

fe = function(z)
{ 
  return( sqrt(4+z)/z )
}

ff = function(z)
{ 
  return( log(z)/(z-1i) )
}


# Jetzt koennen wir integrieren:

IntC( f=fa1 , z0=0 , r=1 )
# -3.372718e-17-8.0512e-19i ist eine numerische 0

IntC( f=fa2 , z0=0 , r=1 )
# 1-0.0000314i           ->    1

IntC( f=fa3 , z0=0 , r=1 )
# -3.190455e-17+1.43371e-18i ist eine numerische 0

IntC( f=fa4 , z0=0 , r=1 )
# -0.1666667+0.0000052i  -> -1/6

IntC( f=fb , z0=0 , r=1 )
# 1-0.0000314i           ->    1

IntC( f=fc , z0=1 , r=1 )
# -0.5+0.0000157i        -> -1/2

IntC( f=fd , z0=1 , r=1 )
# -0.25+0.0000079i       -> -1/4

IntC( f=fe , z0=1 , r=2 )
# 2-0.000063i            ->    2

IntC( f=ff , z0=3*1i/2 , r=1 )
# 0.000049+1.570796i   -> pi/2 i




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#  Aufgabe 4  #
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# START Beispiele Contour- und 3D-Plots:
#
# function of 2 variables to be plotted:

testf = function(x,y)
{
  result = (-x^2+y^2)*exp(-0.25*x^2-0.5*y^2)
  return(result)
}

# the contour()-command has syntax 
# contour(  vector ,  vector , matrix ) = 
# contour( x-Achse , y-Achse , f(x,y) )

x = seq(from=-4,to=4,by=0.1)
y = x

# matrix with testf(x,y)-values:
z = outer( x , y , FUN = testf )      
                                     
# and now the level curves:
contour( x , y , z )
contour( x , y , z , nlevels=50 )    # more refined

# also useful:
image( x , y , z )
persp( x , y , z )

# with plot3D package, to be installed:
require(plot3D)
persp3D( x , y , z )

# ENDE Beispiele Contour- und 3D-Plots



# Zurueck zur Funktion h(z) aus Aufgabe 4:
# Wir machen einen Plot von |h(z)|:

x = seq(from =-0.1, to=0.1, by=0.025)
y = x 
nx = length(x)
ny = nx
absh = matrix(0,nrow=nx,ncol=ny)
for(i in 1:nx)
{
  for(j in 1:ny)
  { 
    z = x[i]+1i*y[j] 
    if(abs(z)>0)
      absh[i,j] = abs(exp(-1/z^2))
    else
      absh[i,j] = 0
  }
}

contour(x,y,absh)
contour(x,y,absh,nlevels=100)
contour(x,y,absh,nlevels=100,zlim=c(0,2))
contour(x,y,absh,nlevels=100,zlim=c(10^(10),10^(11)))

persp(x,y,absh)           # error: invalid z-limits..
absh = pmin(absh,1000)    # 'parallel min': elementweise genommen,  
                          # min(absh,1000) ist eine Zahl, keine 
                          # Matrix mehr
persp(x,y,absh)
image(x,y,absh)
contour(x,y,absh,nlevels=100)

# install package plot3D and then:
require(plot3D)
persp3D(x,y,absh)