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#   UeBlatt 10     #
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### Aufgabe 2 ### 

N = 10000
n = 10 

mu = 20 
sigma = 4


x = rnorm(N*n,mean=mu,sd=sigma)
X = matrix(x,N,n)

hatmu = apply(X,1,FUN="mean")
hats2 = apply(X,1,FUN="var")

par(mfrow=c(1,2))

hist(hatmu,breaks=50,prob=TRUE)
curve(dnorm(x,mean=mu,sd=sqrt(sigma^2/n)),add=TRUE,col="red")

# Dichte s^2 als benutzerdefinierte Funktion:
ds2 = function( z , n , sigma )
{
  lambda = (n-1)/sigma^2
  res = lambda * dchisq( lambda*z , df=n-1 )
  return(res)
}

hist(hats2,breaks=50,prob=TRUE)
curve(ds2(x,n,sigma),add=TRUE,col="red")


summary(hats2)
var(hats2)
#theoretischer Wert:
2*sigma^4/(n-1)







# test var und sd Funktionen:

y = c(-1,1)
var(y)         # also mit 1/(n-1) als Vorfaktor
sd(y)          # auch mit 1/(n-1),  = sqrt(var)


# test apply-Funktion:

A = matrix(1:6,2,3)
A
rowSums(A)
apply(A,1,FUN="mean")
?mean()