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#   UeBlatt 10     #
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### Aufgabe 1 ### 

N = 10000
n = 10 

mu = 20 
sigma = 4


x = rnorm(N*n,mean=mu,sd=sigma)
X = matrix(x,N,n)

hatmu = apply(X,1,FUN="mean")
hats2 = apply(X,1,FUN="var")

par(mfrow=c(1,2))

hist(hatmu,breaks=50,prob=TRUE)
curve(dnorm(x,mean=mu,sd=sqrt(sigma^2/n)),add=TRUE,col="red")

# Dichte s^2 als benutzerdefinierte Funktion:
ds2 = function( z , n , sigma )
{
  lambda = (n-1)/sigma^2
  res = lambda * dchisq( lambda*z , df=n-1 )
  return(res)
}

hist(hats2,breaks=50,prob=TRUE)
curve(ds2(x,n,sigma),add=TRUE,col="red")


summary(hats2)
var(hats2)
#theoretischer Wert:
2*sigma^4/(n-1)



### Aufgabe 2 ### 

N = 10000
n = 10
mu = 20
sigma = 4

x = rnorm(n*N,mean=mu,sd=sigma)
X = matrix(x,N,n)
head(X)
tail(X)

hats2 = rep(0,N)
hatmu = rep(0,N)
hatws2 = rep(0,N)        # ws2 = Wurzel s^2
hatsadj = rep(0,N)

hatmu = rowSums(X)/n
hats2 = apply(X,1,FUN="var")
hatws2 = apply(X,1,FUN="sd")

summary(hatmu)
summary(hats2)

summary(hatws2)
sigma* ( 1 - 1/(4*(n-1)) )

hatsadj = ( 1 + 1/(4*n-5) ) * hatws2

summary(hatsadj)
sigma






# test var und sd Funktionen:

y = c(-1,1)
var(y)         # also mit 1/(n-1) als Vorfaktor
sd(y)          # auch mit 1/(n-1),  = sqrt(var)


# test apply-Funktion:

A = matrix(1:6,2,3)
A
rowSums(A)
apply(A,1,FUN="mean")
?mean()