************************************************
*                                              *
*     Excel-Funktionen und VBA-Funktionen,     *
*    Teil II: Finanzmathematischer Einschub    *
*                                              *
************************************************




Wir wollen eine benutzerdefinierte Funktion schreiben, 
die man dann mit der Syntax

=BlackScholesPrice(S0,K,T,call,sigma,r)

auf einem Tabellenblatt benutzen kann. Diese Funktion 
soll den Black-Scholes Preis einer Standard-Kauf-Option 
(engl: call-option) oder einer Standard-Verkaufs-Option 
(engl: put-option) berechnen. Der Name dieser Funktion, 
BlackScholesPrice, wird dann ebenfalls im Insert Function 
Dialog-Fenster (klick auf fx-Symbol) sichtbar sein, unter 
der Kategorie Benutzer definiert oder User Defined.

Damit Ihnen diese Aufgabe auch sinnvoll erscheint, machen 
wir zunaechst etwas finanzmathematischen Hintergrund:



===================================================================
Finanzmathematischer Einschub: Was sind Optionen oder Derivate?

Schauen wir uns zunaechst die slides 

    Grundidee-Optionspreisbewertung.pdf
  
von der Vorlesungshomepage an. 


Fuer eine Option braucht man zunaechst mal ein der Option 
zugrunde liegenden Basiswert oder das sogenannte underlying. 
Das muss ein liquide handelbares asset sein wie etwa eine 
Aktie, ein Aktienindex, ein Waehrungswechselkurs oder Roh-
stoffe wie Oel, Gold oder Silber. Sei 

  S_t  

der Preis dieses underlyings zur Zeit t. Eine Option hat eine 
Laufzeit (maturity), etwa 1 Jahr, 3 Jahre oder auch nur 1 Monat. 
Die Laufzeit wird typischerweise mit dem Buchstaben T bezeichnet. 
Eine Option mit Basiswert S_t ist dann, rein mathematisch 
gesprochen, einfach eine Auszahlungsfunktion 

  Options_Auszahlung = f(S_T)

wobei die Funktion f voellig beliebig sein kann. Das heisst, 
der Verkaeufer der Option f (typischerweise eine Bank) ver-
pflichtet sich, bei Faelligkeit T der Option dem Kaeufer der 
Option den Betrag f(S_T) auszuzahlen. 

Haeufig gehandelte Optionen sind Standard-Kauf und Standard-
Verkaufs-Optionen, sogenannte Call- und Put-Optionen. Diese 
besitzen einen sogenannten Ausuebungspreis oder Strike K als 
Parameter (typischerweise ist der gleich dem momentanen Aktien-
preis S_0) und die Auszahlung ist dann definiert durch 

  f_call(S_T) := max{ S_T - K , 0 }   
  f_put(S_T)  := max{ K - S_T , 0 }

Da man also fuer eine solche Option in der Zukunft bei t=T 
potentiell Geld bekommen kann, haben diese Optionen schon 
jetzt bei t=0 einen positiven Wert, der Kaeufer muss der Bank 
bei t=0 den Optionspreis bezahlen. 

Es ist nun ein fundamentales Resultat der Finanzmathematik, 
dass solche Optionen ueberhaupt einen im folgenden Sinne 
eindeutig definierten Preis=price(f) haben:

Ist jemand bereit, fuer die Option f mehr als price(f) zu zahlen 
oder bietet eine andere Bank diese Option fuer einen Preis kleiner 
als price(f) an, so kann die Bank eine Handelsstrategie in dem 
der Option zugrunde liegenden Basiswert S_t aufsetzen, so dass 
das Gesamt-Portfolio aus ver- oder ge-kaufter Option und Handels- 
strategie immer einen positiven Gewinn erwirtschaftet, egal, ob 
das underlying steigt, faellt oder neutral bleibt. Diese Tatsache 
wird auch als das no-arbitrage pricing principle bezeichnet. Wie 
das genau funktioniert, werden wir uns noch einmal auf dem neuen 
Uebungsblatt 4 anschauen. 

Im Fall von Standard Call- oder Put-Optionen wird jetzt dieser 
eindeutig festgelegte Preis durch die Black-Scholes Formeln 
gegeben:

price(f_call) =  S_0 N(d1)  - K exp(-rT) N(d2)         (1)
price(f_put)  = -S_0 N(-d1) + K exp(-rT) N(-d2)        (2)

mit 

N(d) := int_{-infinity}^d exp(-x^2/2) dx/sqrt(2 pi)

und

d1 = [ log(S_0/K) + (r+sigma^2/2)T ] / [ sigma*sqrt(T) ]
d2 = d1 - sigma sqrt(T)

Dabei sind:

r     = jaehrlicher Zinssatz (etwa 2%)
sigma = jaehrliche Volatilitaet des underlyings (etwa 20%)
S_0   = underlying Preis jetzt (etwa 12000 fuer den DAX)
K     = Ausuebungspreis oder Strike der Option (etwa = S_0)
T     = Laufzeit der Option in Jahren (etwa 0.25 fuer 3 Monate Laufzeit)


Konkrete Preise von Call- und Put-Optionen auf den DAX findet 
man etwa auf den Seiten der Deutschen Termin Boerse Eurex unter

https://www.eurexchange.com/exchange-en/products/idx/dax/DAX-Options-139884

Ende Finanzmathematischer Einschub
=====================================================================



In der Funktion BlackScholesPrice(S0,K,T,call,sigma,r) sollen 
also die Formeln (1) und (2) bereitgestellt werden.

'
' now let's do the actual coding
'




Im Jahr 1997 gab es fuer (F.Black), M.Scholes und R.Merton den Nobelpreis 
fuer Wirtschaftswissenschaften: from nobelprize.org, unter:

https://www.nobelprize.org/prizes/economic-sciences/1997/advanced-information/

"Fischer Black, Robert Merton and Myron Scholes made a pioneering 
 contribution to economic sciences by developing a new method of 
 determining the value of derivatives. Their innovative work in 
 the early 1970s, which solved a longstanding problem in financial 
 economics, has provided us with completely new ways of dealing 
 with financial risk, both in theory and in practice. Their method 
 has contributed substantially to the rapid growth of markets for 
 derivatives in the last two decades. Fischer Black died in his 
 early fifties in August 1995."