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#  Blatt 7, Aufgabe 1  #
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# die Spaltenvektoren der Matrix A:

a1 = c(1,1,0)
a2 = c(2,1,3)
a3 = c(1,0,0)
a4 = c(0,1,0)
a5 = c(0,0,1)

b = c(170,150,180)


# wir haben 10 Faelle, die wir der Reihe nach 
# durchgehen muessen:

# B = {1,2,3}
AB = cbind(a1,a2,a3)       # "column bind"
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (90,60,-40)
# x = (xB,xN) = (90,60,-40,0,0)
# keine Ecke


# B = {1,2,4}
AB = cbind(a1,a2,a4)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (50,60,40)
# x = (xB,xN) = (50,60,0,40,0)
# ist Ecke,
E1 = c(50,60,0,40,0)


# B = {1,2,5}
AB = cbind(a1,a2,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (130,20,120)
# x = (xB,xN) = (130,20,0,0,120)
# ist Ecke,
E2 = c(130,20,0,0,120)


# B = {1,3,4}
AB = cbind(a1,a3,a4)       
xB = solve(AB,b)
xB
# -> liefert Fehlermeldung, da a1,a3 und a4 linear abhaengig, 
# keine Loesung fuer xB.


# B = {1,3,5}
AB = cbind(a1,a3,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (150,20,180)
# x = (xB,xN) = (150,0,20,0,180)
# ist Ecke,
E3 = c(150,0,20,0,180)


# B = {1,4,5}
AB = cbind(a1,a4,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (170,-20,180)
# x = (xB,xN) = (170,0,0,-20,180)
# keine Ecke


# B = {2,3,4}
AB = cbind(a2,a3,a4)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (60,50,90)
# x = (xB,xN) = (0,60,50,90,0)
# ist Ecke,
E4 = c(0,60,50,90,0)


# B = {2,3,5}
AB = cbind(a2,a3,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (150,-130,-270)
# x = (xB,xN) = (0,150,-130,0,-270)
# keine Ecke


# B = {2,4,5}
AB = cbind(a2,a4,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (85,65,-75)
# x = (xB,xN) = (0,85,0,65,-75)
# keine Ecke


# B = {3,4,5}
AB = cbind(a3,a4,a5)       
xB = solve(AB,b)
xB
# xB = (170,150,180)
# x = (xB,xN) = (0,0,170,150,180)
# ist Ecke,
E5 = c(0,0,170,150,180)


# Also: wir haben 5 Ecken gefunden;
# wir berechnen F(E1),...,F(E5):
# wir legen die Funktion f(x1,...,x5) = 300*x1+500*x2 
# an (der Buchstabe F ist schon fuer "FALSE" verbraucht):

f = function( E )
{
  result = 300*E[1] + 500*E[2]
  return(result)
}

f(E1)    # 45000
f(E2)    # 49000   -> Maximum
f(E3)    # 45000
f(E4)    # 30000
f(E5)    # 0

# Also: Maximum bei E2 = (130,20,0,0,120), 
# also x1 = x = 130, x2 = y = 20