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#  Aufgabe 1  #
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# 1a)

v1 = c(1,-1,-1,1)
v2 = c(1,-2,-3,1)
v3 = c(-2,6,9,0)
v4 = c(4,-3,-2,5)
A = rbind(v1,v2,v3,v4)     # "rowbind", zeilenweises Zusammensetzen
A
 
# 1b)

Ainv = solve(A)
Ainv
zapsmall(Ainv)             # ignores e-16 stuff in the output

# 1c)

A %*% Ainv
zapsmall(A %*% Ainv)
Ainv %*% A
zapsmall(Ainv %*% A)

# 1d)

det(A)
det(Ainv)

# 1e)

res = eigen(A)
res
names(res)

Eigenwerte = res$values
Eigenwerte
Eigenvektoren = res$vectors
Eigenvektoren

D = diag(Eigenwerte)       # macht aus einem Vektor eine Diagonalmatrix
D
V = Eigenvektoren
V
Vinv = solve(V)
Vinv

testA = V %*% D %*% Vinv
testA
zapsmall(testA)
A                          # ok, passt alles..



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#  Aufgabe 2  #
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# 2a) Man findet: s_n = n^2
# 
# Beweis mit Induktion: s_1 = 1^1 = 2*1 - 1 ist ok.
# Schluss von n auf n+1:
#
# s_{n+1} = s_n + 2n+1
#         = n^2 + 2n +1
#         = (n+1)^2    

# 2b) Machen wir etwa so:

n = 100
nn = 1:n
x = 2*nn - 1
x

# 2c)

s = cumsum(x)
s

# 2d)

vec = rep(0,n)
summe = 0
for(k in 1:n)
{
  summe = summe + (2*k-1)
  vec[k] = summe
}
vec
s       # ok, ist identisch