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*    Komplexe Zahlen in VBA: benutzerdefinierte Datentypen    *
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Wir hatten gesehen, dass die Menge der eingebauten Excel-
Funktionen und die Menge der eingebauten VBA-Funktionen deutlich 
unterschiedlich sind. Klickt man etwa auf das fx-Symbol um das 
Insert Function Dialog Fenster fuer Excel-Funktionen zu oeffnen, 
findet man unter der Kategorie Engineering eine Reihe von Funk-
tionen (alle, die mit "Im" beginnen), die fuer das Rechnen mit 
komplexen Zahlen bestimmt sind. 

In VBA gibt es keine solchen Funktionen. Weiterhin hatten wir in 
Uebungsblatt3 gesehen, dass das Benutzen von Excel-Funktionen in 
VBA mit der Syntax

Application.WorksheetFunction.excelfunctionname

oder

Excel.WorksheetFunction.excelfunctionname

etwa um einen Faktor 20 langsamer ist als das Benutzen vergleich-
barer (falls denn vorhanden) VBA-Funktionen. Da das Rechnen 
mit komplexen Zahlen nicht nur fuer die technischen Disziplinen 
sehr wichtig ist, sondern auch fuer die Finanzmathematik (so ist 
etwa der Preis einer Standard-Kauf-Option im Heston Stochastic 
Volatility Model gegeben durch ein komplexes Fourier-Integral), 
wollen wir in diesem Kapitel eine Funktionalitaet fuer komplexe 
Zahlen in VBA implementieren:

Dazu definieren wir einen neuen "benutzerdefinierten" Datentyp 
mit Namen, etwa, cdouble (`complex double'), der aus zwei double's 
besteht, dem Real- und dem Imaginaerteil einer komplexen Zahl:

Public Type cdouble
  re as double          
  im as double
End Type
'-> take a quick look at VBA-Hilfe for type-statement

und muessen dann Funktionen fuer das Rechnen mit solchen cdouble's 
bereitstellen, also fuer die komplexe Addition, Subtraktion, 
Multiplikation, Division, die komplexe Exponentialfunktion und 
eventuell weitere komplexe Funktion (sqrt,log,...). Die Syntax 
fuer die komplexe Addition, als Namen waehlen wir etwa "cplus", 
wuerde dann so aussehen:

Function cplus(z As cdouble, w As cdouble) As cdouble

  Dim resre As Double  'res for result
  Dim resim As Double
  resre = z.re + w.re
  resim = z.im + w.im
  cplus.re = resre
  cplus.im = resim

End Function

Weiterhin brauchen wir eine Funktion, die es ermoeglicht, jede 
reelle Zahl x als komplexe Zahl z=x+i*0 aufzufassen, etwa:

Function cdouble(x As Double, y As Double) As cdouble

  cdouble.re = x
  cdouble.im = y
  
End Function

Die Wahl von "cdouble" als Funktionsname scheint keine Probleme 
zu verursachen, ansonsten wuerde man eine solche Funktion 
vielleicht "complex" nennen wollen.


Nachdem wir diese Funktionen implementiert haben, wollen wir die 
Funktionalitaet testen, indem wir ein bekanntes Fourier-Integral 
numerisch berechnen. Es gilt folgende Formel ("die Fourier-
Transformation einer Gauss-Funktion ist eine Gauss-Funktion"):

int_{-infty}^{infty} exp(ikx) exp(-alpha x^2/2) dx/sqrt(2 pi) = 

  1/sqrt(alpha) exp(-1/alpha * k^2/2)                        (1)

Dabei soll die Formel (1) einmal mit der neuen VBA-Funktionalitaet 
ueberprueft werden und zum anderen mit Hilfe der "Im" Excel-Formeln, 
die als Worksheet-Functions zur Verfuegung stehen. Die Rechenzeiten 
sollen in beiden Faellen mit ausgegeben werden. Dabei wollen wir 
die Formel (1) fuer folgende Werte von k berechnen und das Resultat 
(exaktes Reultat, Real- und Imaginaerteil des numerischen Resultats, 
der Riemannschen Summe) auf das Excel-sheet schreiben:

    k in {-5.0,-4.9,-4.8,...,+4.8,+4.9,+5.0} .

Fuer dx waehlen wir etwa 1/1000 und das Intervall (-infty,infty) 
approximieren wir etwa durch (-10,10).